Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Beispiele für Gruppen endliche Gruppen Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks id $D_{180}$ $S_h$ $S_v$ $id$ $id$ $D_{180}$ $S_h$ $S_v$ $D_{180}$ $D_{180}$ $id$ $S_v$ $S_h$ $S_h$ $S_h$ $S_v$ $id$ $D_{180}$ $S_v$ $S_v$ $S_h$ $D_{180}$ $id$ Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute unendliche Gruppen Gebrochene Zahlen: $[{\mathbb{\mathbb{Q}}}^{+},\cdot ]$ Ganze Zahlen: $[\mathbb{\mathbb{Z}},+]$ Gegenbeispiele für Gruppen Gruppendefinitionen Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version) Definition 1a: (Gruppe Langfassung) Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{𝔾}:=[G,\odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\odot b\in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\mathrm{\exists }e\in G\mathrm{\forall }a\in G:a\odot e=e\odot a=a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\odot a^{-1}=a^{-1}\odot a=e$. Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version) Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung) Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{𝔾}:=[G,\odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\odot b\in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\mathrm{\exists }e\in G\mathrm{\forall }a\in G:e\odot a=a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a^{-1}\odot a=e$. Ordnung einer Gruppe Definition 2: (Gruppenordnung) Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Kurzschreibweise: Wenn $n$ die Ordnung der Gruppe $G$ ist: $|G|=n$ Ordnung einer Gruppenelements Definition 3: (Ordung eines Gruppenelements) Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$ und $g\in G$. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit $n>0$, für die gilt $g^n=e$ heißt Ordnung von $g$. Kurzschreibweise: $|g|=n$ Halbgruppe Definition 4: (Halbgruppe) Eine Menge $H$ auf der eine Verknüpfung $\odot$ definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn $\odot$ abgeschlossen auf $H$ und assoziativ ist. Bemerkung: Tutor Alex wies darauf hin, dass die Menge $H$ auch die leere Menge sein darf. Er hat recht. Ich habe das geändert.--*m.g.* (Diskussion) 16:43, 14. Mai 2017 (CEST) (Bitte dazu in die Diskussion schauen! (Update)) Monoid Definition 5: (Monoid) Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. Das Linkseinslement ist auch Rechtseinselement Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement $e$ sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement $a$ multipliziert eben dieses Element $a$ das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. Es gilt der Satz: Satz 1 Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse. Beweis von Satz 1 Übungsaufgabe, Hinweise Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse $g^{-1}$ eines beliebigen Elementes $g$ von rechts mit $g$:$g\odot g^{-1}$ Ersetzen Sie $g$ durch $e\odot g$ Ersetzen Sie $e$ durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von $g$ mit dem Linksinversen von $g$: $(g^{-1}{)}^{-1}\odot g^{-1}$. Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... Beweis: Es sei $g^{-1}$ das Linksinverse von $g$. Wir muliplizieren $g^{-1}$ von rechts mit $g$: (I) $g\cdot g^{-1}$ (II) $g\cdot g^{-1}=e\cdot g\cdot g^{-1}$ Wissen: Auch $g^{-1}$ hat ein Linksinverses: $(g^{-1}{)}^{-1}$ Ersetzen $e$ durch $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$ (III) $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}\cdot g\cdot g^{-1}$ (IV) geschicktes Klammern: $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot (g^{-1}\cdot g)\cdot g^{-1}$ (V) Klammer berechnen:$g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot e\cdot g^{-1}$ (VI) Mit $e$ multiplizieren ist geschenkt ... $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$ (VII) $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$ bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von $g$ mieinander multiplizieren. (VII) also $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}=e$ (IX) und damit $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}=e$ (X) oder einfach: $g\cdot g^{-1}=e$ und damit: Das Linksinverse $g^{-1}$ von $g$ ist auch sein Rechtsinverses