Winkelmessung Wikiversion

Das Winkelmaß Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? Länge einer Strecke Größe eines Winkels nichtnegative reelle Zahl reelle Zahl zwischen 0 und 180 Das Winkelmaßaxiom Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180. Definition V.5: (Größe eines Winkels) Die Zahl $\omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\alpha$ genannt. In Zeichen: $\omega =\left|\alpha \right|$. Winkelkonstruktion Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) Es sei $g\equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\epsilon$. Zu jeder reellen Zahl $\omega$ mit $0<\omega <180$ gibt es in jeder der beiden durch $g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\epsilon$ genau einen Strahl $S{B}^{+}$ mit $\omega =\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$ Winkeladdition Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom) Wenn der Punkt $P$ zum Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ gehört , dann gilt $\left|\mathrm{\angle }ASP\right|+\left|\mathrm{\angle }PSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$. Satz V.2 Wenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\mathrm{\angle }ASP$ und $\mathrm{\angle }PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$. Beweis von Satz V.2 Vor.:$P$ im inneren$\mathrm{\angle }ASB$ $P\in ̸S{B}^{+}\wedge P\in ̸S{A}^{+}$ Beh.:$\left|\mathrm{\angle }ASP\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|\wedge \left|\mathrm{\angle }BSP\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$ Versuchen Sie es selbst! Rechte Winkel Definition V.6 : (Rechter Winkel) Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel. Definition V.7 : (Supplementärwinkel) Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt. Axiom IV.4: (Supplementaxiom) Nebenwinkel sind supplementär. Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) Wenn ein Winkel die Größe 90 hat, dann ist er ein rechter Winkel. Beweis von Satz V.3 Das können Sie selbst! Satz V.4 : Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. Beweis von Satz V.4 : Das können Sie selbst! Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden. Wenn sich $g$ und $h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $g$ und $h$ senkrecht aufeinader. In Zeichen: $g\perp h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular) Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind? Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) Eine Gerade $g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $g$ und die Gerade $AB$ senkrecht aufeinander stehen. Ergänzen Sie: Eigenschaften der Relation senkrecht Die Relation eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden hat die folgenden Eigenschaften: Sie ist reflexiv. Sie ist symmetrisch. Sie ist transitiv. Sie ist keine Äquivalenzrelation. Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden. Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander. Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $ϵ$. Ferner sei $P$ ein Punkt auf $g$. In der Ebene $ϵ$ gibt es genau eine Gerade $s$, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht. Beweis von Satz V.5 Übung