Lösung von Aufg. 12.4 SS11

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand.

$Beweis:$

$Voraussetzung:mistMittelsenkrechtevon\overline{AB}undP\in m$
$Behauptung:\overline{PA}\equiv \overline{BP}$

$Esgilt:$

$\overline{PM}\equiv \overline{PM}und\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PBMund\overline{AM}\equiv \overline{BM}nachVoraussetzung$
$\Rightarrow Kongruenzvon\overline{APM}und\overline{PMB}\Rightarrow \overline{AP}\equiv \overline{BP}$ --Peterpummel 18:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Muss das auch für P = M gezeigt werden? Oder ist das einfach trivial, weil P dann Mittelpunkt ist und logischerweise zu A und B denselben Abstand hat?--mm_l 10:45, 15. Jul. 2011 (CEST)

Ja, trotz das der Beweis für P=M trivial ist, muss man diesen Fall getrennt aufführen, denn es enstechen ja keine Dreicke!
Das heißt, für ein korrekten Beweis muss man hier in zwei Fälle unterscheiden. (vgl. Aufgabe 12.3)--Tutorin Anne 10:37, 17. Jul. 2011 (CEST)