Lösung von Aufg. 12.4 SS11

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $ \ P $ zur Mittelsenkrechten der Strecke $ {\overline {AB}} $ gehört, dann hat er zu den Punkten $ \ A $ und $ \ B $ ein und denselben Abstand.

$ \ Beweis: $

$ \ Voraussetzung:\ m\ ist\ Mittelsenkrechte\ von\ {\overline {AB}}\ und\ P\in m $
$ \ Behauptung:\ {\overline {PA}}\equiv {\overline {BP}} $

$ \ Es\ gilt\ :\ $

$ {\overline {PM}}\equiv {\overline {PM}}\ und\ \angle PMA\equiv \angle PBM\ und\ {\overline {AM}}\equiv {\overline {BM}}\ nach\ Voraussetzung $
$ \Rightarrow \ Kongruenz\ von\ {\overline {APM}}\ und\ {\overline {PMB}}\Rightarrow {\overline {AP}}\equiv {\overline {BP}} $ --Peterpummel 18:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Muss das auch für P = M gezeigt werden? Oder ist das einfach trivial, weil P dann Mittelpunkt ist und logischerweise zu A und B denselben Abstand hat?--mm_l 10:45, 15. Jul. 2011 (CEST)

Ja, trotz das der Beweis für P=M trivial ist, muss man diesen Fall getrennt aufführen, denn es enstechen ja keine Dreicke!
Das heißt, für ein korrekten Beweis muss man hier in zwei Fälle unterscheiden. (vgl. Aufgabe 12.3)--Tutorin Anne 10:37, 17. Jul. 2011 (CEST)