Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 13/14)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

• Wie kann eine Strecke AB eine Gerade g schneiden und dabei eine leere Menge ergeben? --Der Kuckuck 20:42, 24. Nov. 2013 (CET)
  • Die Schreibweise $\overline{AB}\cap g$ist eine Verknüpfung von (hier zwei) Mengen zu einer Schnittmenge. Diese kann auch leer sein. Analog: x + y heißt auch noch nicht, dass das Ergebnis positiv ist.--Tutorin Anne 10:20, 25. Nov. 2013 (CET)

zu a) Die Strecke AB schneidet die Gerade g nicht, d.h. A und B müssen auf den gleichen Halbebenen liegen
zu b) Eine Äquivalenzrelation ist sowohl reflexiv, symmetrisch als auch transitiv.
Begründung reflexiv: Alle A sind Element aus E\g
Begründung symmetrisch: Sowohl die Strecke AB als auch die Strecke BA schneiden die Gerade g nicht, da sie identisch sind
Begründung transitiv: ????--Smartie 16:54, 26. Nov. 2013 (CET)

Gute Antworten, Smartie. Die Begründungen zur Unteraufgabe b) sollten noch erweitert werden.
b))
a) Warum steht jedes A in Relation zu sich selbst? (nochmal genauer begründen.)
b) Beachte, dass bei Symmetrie immer eine Implikation begründet werden musst. Also: Steht A in Relation zu B, so schneidet die Strecke $\overline{AB}$ g nicht (und liegt somit in einer Halbebene). Daraus folgt, dass auch die STrecke $\overline{BA}$ g nicht schneidet, da die Strecken identisch sind. Somit gilt auch B steht in Relation zu A.
c) Hier kann eine Skizze helfen.--Tutorin Anne 11:30, 28. Nov. 2013 (CET)