Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 13/14)

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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $ \ \Theta $ ($ \ \Theta $ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $ \ E\setminus g $ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $ \ A,B\in E\setminus g $ gilt: $ \ A\Theta B:\Leftrightarrow {\overline {AB}}\cap g=\lbrace \rbrace $.
a) Beschreiben Sie die Relation $ \ \Theta $ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $ \ \Theta $ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $ \ \Theta $ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

  • Wie kann eine Strecke AB eine Gerade g schneiden und dabei eine leere Menge ergeben? --Der Kuckuck 20:42, 24. Nov. 2013 (CET)
    • Die Schreibweise $ {\overline {AB}}\cap g $ist eine Verknüpfung von (hier zwei) Mengen zu einer Schnittmenge. Diese kann auch leer sein. Analog: x + y heißt auch noch nicht, dass das Ergebnis positiv ist.--Tutorin Anne 10:20, 25. Nov. 2013 (CET)



zu a) Die Strecke AB schneidet die Gerade g nicht, d.h. A und B müssen auf den gleichen Halbebenen liegen
zu b) Eine Äquivalenzrelation ist sowohl reflexiv, symmetrisch als auch transitiv.
Begründung reflexiv: Alle A sind Element aus E\g
Begründung symmetrisch: Sowohl die Strecke AB als auch die Strecke BA schneiden die Gerade g nicht, da sie identisch sind
Begründung transitiv: ????--Smartie 16:54, 26. Nov. 2013 (CET)


Gute Antworten, Smartie. Die Begründungen zur Unteraufgabe b) sollten noch erweitert werden.
b))
a) Warum steht jedes A in Relation zu sich selbst? (nochmal genauer begründen.)
b) Beachte, dass bei Symmetrie immer eine Implikation begründet werden musst. Also: Steht A in Relation zu B, so schneidet die Strecke $ {\overline {AB}} $ g nicht (und liegt somit in einer Halbebene). Daraus folgt, dass auch die STrecke $ {\overline {BA}} $ g nicht schneidet, da die Strecken identisch sind. Somit gilt auch B steht in Relation zu A.
c) Hier kann eine Skizze helfen.--Tutorin Anne 11:30, 28. Nov. 2013 (CET)

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