Übung Aufgaben 5 (WS 16 17)
Aufgabe 5.1
a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Lösung von Aufgabe 5.1_P (WS_16_17)
Aufgabe 5.2
Satz: Gegeben sei ein Dreieck $ {\overline {ABC}} $ in einer Ebene E und eine Gerade g in dieser Ebene, die keine der drei Punkte A, B und C enthält.
Wenn g die Strecke $ {\overline {BC}} $ schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke $ {\overline {AC}} $ oder die Strecke $ {\overline {AB}} $.
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?
Lösung von Aufgabe 5.2_P (WS_16_17)
Aufgabe 5.3
a) Geben Sie die Menge $ M $ aller konvexer Drachenvierecke an.
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge $ M\times M $.
c) Wir definineren eine Relation $ R $ mit $ R:=A\subseteq B $. Bestimmen Sie die Relation $ R $ auf $ M\times M $.
d) Untersuchen Sie die Relation $ R $ auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Lösung von Aufgabe 5.3_P (WS_16_17)
Aufgabe 5.4
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?
- Parallelität von Geraden der Ebene
- Kongruenz geometrischer Figuren
- Teilbarkeit in $ \mathbb {N} $
- Kleinerrelation in $ \mathbb {R} $
- Größer-Gleich-Relation in $ \mathbb {R} $
- Ungleichheit in $ \mathbb {R} $
Lösung von Aufgabe 5.4_P (WS_16_17)
Aufgabe 5.5
Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
$ \ gSh\Leftrightarrow \ g\cap h\neq \lbrace \rbrace $
Lösung von Aufgabe 5.5_P (WS_16_17)
Aufgabe 5.6
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $ \ \Theta $ ($ \ \Theta $ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $ \ E\setminus g $ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $ \ A,B\in E\setminus g $ gilt: $ \ A\Theta B:\Leftrightarrow {\overline {AB}}\cap g=\lbrace \rbrace $.
a) Beschreiben Sie die Relation $ \ \Theta $ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $ \ \Theta $ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $ \ \Theta $ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 5.6_P (WS_16_17)
