Übung Aufgaben 8 (SoSe 11)

Aufgaben zur Inzidenz

Aufgabe 8.1

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufg. 8.1 (SoSe_11)

Aufgabe 8.2

Es sei $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt, der nicht zu $g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\mathrm{E}$, die sowohl alle Punkte von $g$ als auch den Punkt $P$ enthält.

Lösung von Aufg. 8.2 (SoSe_11)

Aufgabe 8.3

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe_11)

Aufgabe 8.4

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\mathrm{E}$ eine beliebige Ebene und $A,B,C,D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $A,B,C,D$ mit $\mathrm{E}$ auftreten können.

Lösung von Aufg. 8.4 (SoSe_11)

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 8.5

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A,B$ und $C$ ein und derselben Geraden $g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe_11)

Aufgabe 8.6

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade $A{B}^{+}$

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $A{B}^{+}$ versteht man die Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $B$ hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade $A{B}^{+}$.

Lösung von Aufg. 8.6 (SoSe_11)

Aufgabe 8.7

Definition: Halbgerade $A{B}^{-}$

Gegeben seien zwei nicht identische Punkte $A$ und $B$. Unter $A{B}^{-}$ wollen wir die Menge aller Punkte $P$ verstehen, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $A$ hinaus verlängert.

Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte $P$ an.

Lösung von Aufg. 8.7 (SoSe_11) geht auch: OA+:= {P|PE P, Zw(OAP)v Zw(OPA0)v P=A}  ?