Übung 12 SoSe 12

Absolute Geometrie

Aufgabe 12.1

Man beweise: Ein Punkt $ \ P $ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $, wenn er zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand hat.

Lösung von Aufg. 12.1_S

Aufgabe 12.2

Beweisen Sie die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes
a) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
b) ohne die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes zu verwenden.

Lösung von Aufg. 12.2_S

Aufgabe 12.3

Beweisen Sie: Wenn $ \ P $ ein Punkt außerhalb der Geraden $ \ g $ ist, dann gibt es eine Gerade $ \ h $, die durch $ \ P $ geht und parellel zu $ \ g $ ist.
Lösung von Aufg. 12.3_S

Aufgabe 12.4

Es sei folgende Definition für den Begriff Parallelogramm gegeben:

Ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten heißt Parallelogramm.

Beweisen Sie: Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Lösung von Aufg. 12.4_S

Euklidische Geometrie

Aufgabe 12.4

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:
Zu jedem Punkt $ \ P $ außerhalb einer Geraden $ \ g $ gibt es genau eine Gerade $ \ h $, die durch $ \ P $ geht und zu $ \ g $ parallel ist.

Lösung von Aufg. 12.4_S

Aufgabe 12.5

Beweisen Sie den Wechselwinkelsatz, ohne den Stufenwinkelsatz zu verwenden.
Lösung von Aufg. 12.5_S

Aufgabe 12.6

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke
a) mithilfe des Stufenwinkelsatzes.
b) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
Lösung von Aufg. 12.6_S

Aufgabe 12.7

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Lösung von Aufg. 12.7_S